قضیه سینوس ها

در مثلث دلخواه ABC داریم:

\(\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\)

اثبات:

حالت اول: \(A < {90^0}\)

قطر BD را رسم می کنیم و D را به A وصل می کنیم. دو زاویه D و C محاطی و رو به رو به کمان AB هستند، لذا با هم  برابر هستند:

\(\hat D = \hat C = \frac{{AB}}{2}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {BAD}\limits^\Delta = {90^0}\\\\{\mathop{\rm Sin}\nolimits} D = \frac{c}{{BD}} \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} C = \frac{c}{{BD}}\\\\ \Rightarrow \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = BD = 2R\\\\\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\;,\;\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = \frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = \frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)

حالت دوم: \(A > {90^0}\)

نقطه دلخواه \(A'\) روی کمان BC را به B و C وصل می کنیم.

A و \(A'\) مکمل یکدیگرند یعنی \(\hat A + \hat A' = {180^0}\)  زیرا \(ABA'C\)  چهار ضلعی محاطی است پس قضایای اثبات شده زاویه های مقابل مکمل اند.

\(\begin{array}{l}\hat A + \hat A' = {180^0} \Rightarrow A > {90^0} \Rightarrow A' < {90^0}\\\\\frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A'}} = 2R\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \left( {180 - A'} \right) = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A'\\\\ \Rightarrow \frac{a}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A}} = 2R\;,\;\frac{b}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} B}} = 2R\;,\;\frac{c}{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} C}} = 2R\end{array}\)